Kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü üzerine bir çalışma

Bu çalışmada ilk olarak kesirli mertebeden türevin tarihçesinden ve klasik analizden kesirli analize geçiş serüveninden bahsedilmiştir. Ardından bir kesirli mertebeden türev yaklaşımı olarak “beta türev” ile alakalı tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Ayrıca diğer kesirli türev yaklaşımlarına göre avantajlarına değinilmiştir. Daha sonra birtakım mühendislik alanlarında, biyolojik olgularda ve birçok yaşamsal olayın matematiksel olarak ifade edilmesinde kullanılmakta olan doğrusal olmayan kesirli mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin bazı türlerinden bahsedilmiştir. Yardımcı denklem yönteminin işleyişinden bahsedilmiş ve doğrusal olmayan kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerden; Caudrey-Dodd-Gibbon (CDG) denklemi, değiştirilmiş ve geliştirilmiş Korteweg de Vries (ImKdV) denklemi ve Phi-4 denkleminin bu yöntem sayesinde çözümüne yer verilmiştir. Son olarak elde edilen sonuçların genel değerlendirilmesi yapılmıştır.

In this work, the history of fractional order derivative and the course of transition from classical analysis to fractional analysis are introduced at first. Then, definitions and theorems are given about a fractional order derivative approach named "beta derivative". Also, its advantages over other fractional derivative approaches are mentioned. After that, some types of nonlinear fractional order partial differential equations, which are used to explain in engineering fields, biological events and many life events, are introduced. Directions about using auxiliary equation method are denoted and solutions of the CaudreyDodd-Gibbon (CDG) equation, improved and modified Korteweg de Vries (ImKdV) equation and Phi-4 equation which are nonlinear fractional order differential equations, is given using this method. At last, a general evaluation of the obtained results was made.