Lorentz uzayında doğrusal olmayan schrödinger denkleminin diferansiyel geometrik analizi

Bu tez çalışmasında, Lorentz uzayında doğrusal olmayan Schrödinger (Nonlinear Schrödinger – NLS) denklemi diferansiyel geometrik yöntemler kullanılarak incelenmiştir. NLS denklemi, kuantum mekaniği, doğrusal olmayan optik ve dalga teorisi gibi birçok alanda önemli bir yere sahip olup, özellikle soliton çözümleriyle dikkat çekmektedir. Çalışmada öncelikle diferansiyel geometriye ait temel kavramlar sunulmuş, ardından doğrusal olmayan Schrödinger denkleminin matematiksel yapısı ele alınmıştır. Denklemin çözümleri ile eğriler ve yüzeylerin geometrik özellikleri arasındaki ilişkiler ortaya konulmuştur. Özellikle Lorentz (Minkowski) uzayının metrik yapısının, NLS denkleminin geometrik yorumu üzerindeki etkileri analiz edilmiştir. Elde edilen sonuçlar, Lorentz uzayında doğrusal olmayan Schrödinger denkleminin Öklid uzayına kıyasla farklı ve daha zengin geometrik özellikler sergilediğini göstermektedir. Bu çalışma, diferansiyel geometri ile NLS denklemi arasındaki ilişkiye katkı sağlamayı amaçlamaktadır. Tez, altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışmanın amacı kapsamında giriş kısmına yer verilmiştir. İkinci bölümde doğrusal olmayan Schrödinger denklemi ile alakalı mevcut literatür araştırması yapılmıştır. Üçüncü bölümde Öklid ve Lorentz uzaylarındaki bazı temel bilgilere yer verilmiştir. Dördüncü bölümde Öklid uzayında NLS yüzeyi diferansiyel geometrik olarak incelenmiştir. Beşinci bölümde ise Lorentz uzayında NLS yüzeyi diferansiyel geometrik olarak incelenmiştir. Son olarak altıncı bölümde ise çalışmaya ilişkin sonuçlar ve öneriler verilmiştir.

In this thesis, the nonlinear Schrödinger (NLS) equation in Lorentzian space is investigated using differential geometric methods. The NLS equation plays an important role in many fields such as quantum mechanics, nonlinear optics, and wave theory, and it is particularly notable for its soliton solutions. First, the fundamental concepts of differential geometry are presented, and then the mathematical structure of the nonlinear Schrödinger equation is examined. The relationships between the solutions of the equation and the geometric properties of curves and surfaces are established.In particular, the effects of the metric structure of Lorentz (Minkowski) space on the geometric interpretation of the NLS equation are analyzed. The results show that the nonlinear Schrödinger equation in Lorentzian space exhibits different and richer geometric properties compared to those in Euclidean space. This study aims to contribute to the understanding of the relationship between differential geometry and the NLS equation. The thesis consists of six chapters. In the first chapter, the introduction is presented in line with the aim of the study. The second chapter provides a review of the existing literature related to the nonlinear Schrödinger equation. In the third chapter, some fundamental concepts of Euclidean and Lorentzian spaces are introduced. In the fourth chapter, the NLS surface in Euclidean space is examined from a differential geometric perspective. In the fifth chapter, the NLS surface in Lorentzian space is analyzed using differential geometric methods. Finally, the sixth chapter presents the conclusions and suggestions of the study.