Parametre tahmin yöntemlerinin Cauchy dağılımına uyum iyiliği testleri üzerindeki etkilerinin incelenmesi

İstatistiksel analizlerde, modelleme sürecinin temel aşamalarından biri, elde edilen verinin belirli bir teorik dağılıma ne ölçüde uyum sağladığının test edilmesidir. Bu bağlamda, uyum iyiliği testleri, parametrik yöntemlerin geçerliliğini değerlendirmede ve tahmin edici modellerin güvenilirliğini sağlamada önemli rol oynamaktadır. Ancak dağılımın ağır kuyruklu, simetrik ya da momentleri tanımsız olması durumunda, geleneksel tahmin yöntemleri ve klasik uyum testleri yetersiz kalabilmektedir. Özellikle, ortalama ve varyansı tanımsız olan Cauchy dağılımı, parametrik tahmin süreci açısından zorluklar barındırmakta; bu da uyum testlerinin performansını doğrudan etkilemektedir. Bu tez çalışmasında, Cauchy dağılımına ait parametrelerin farklı tahmin yöntemleriyle (En Çok Olabilirlik Tahmini, En Küçük Kareler, Robust Tahmin Yöntemleri) elde edilmesi ve bu tahminlerin uyum iyiliği testleri üzerindeki etkilerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Bu kapsamda, Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, Cramér-von Mises, Zhang testleri (ZA, ZC, ZK), Uyarlanmış Anderson-Darling testi, Kullback-Leibler tabanlı testler, Gürtler Henze ve Pekgör testleri gibi çeşitli uyum iyiliği testleri teorik ve uygulamalı olarak değerlendirilmiştir. Tezde, parametrik ve parametrik olmayan tahmin yöntemlerinin, uyum testlerinin gücünü ve duyarlılığını nasıl etkilediği simülasyon yoluyla sistematik olarak incelenmiş; her bir testin farklı örneklem büyüklüklerinde ve tahmin yöntemi altında nasıl performans gösterdiği karşılaştırmalı olarak sunulmuştur. Elde edilen bulgular, Cauchy dağılımı gibi zorlu yapılar altında, klasik yöntemlerin yetersiz kaldığını ve robust tahmin edicilerin özellikle küçük örneklemlerde daha istikrarlı sonuçlar sunduğunu göstermektedir. Bu çalışma, hem teorik katkı sunmayı hem de uygulamalı istatistik analizlerde karar verme süreçlerine yön göstermeyi hedeflemektedir. Uyum iyiliği testlerinin güvenilirliğini artırmak amacıyla, dağılım özelliklerinin yanı sıra tahmin yönteminin de dikkatle seçilmesi gerektiği vurgulanmaktadır.

In statistical analysis, one of the fundamental stages of modeling is testing the extent to which the observed data conform to a specified theoretical distribution. In this context, goodness-of-fit tests play a crucial role in evaluating the validity of parametric methods and ensuring the reliability of predictive models. However, when the distribution is heavy-tailed, symmetric, or has undefined moments, traditional estimation methods and classical goodness-of-fit tests often prove insufficient. In particular, the Cauchy distribution, whose mean and variance are undefined, presents notable challenges for parameter estimation and significantly affects the performance of fit tests. This dissertation aims to investigate how different parameter estimation methods (Maximum Likelihood Estimation, Least Squares Estimation, and Robust Estimation Techniques) affect the performance of goodness-of-fit tests for the Cauchy distribution. Within this scope, various goodness-of-fit tests such as Kolmogorov Smirnov, Anderson Darling, Cramér von Mises, Zhang tests (ZA, ZC, ZK), the modified Anderson Darling test, Kullback Leibler divergence based tests, the Gürtler Henze and Pekgör test are examined both theoretically and through simulation studies. The study systematically evaluates the power and sensitivity of these tests under different estimation methods using simulated data, comparing their performances across varying sample sizes. Findings reveal that traditional methods fall short under the Cauchy distribution, while robust estimators produce more stable and consistent results, especially in small samples. This research aims to contribute to the theoretical literature while also providing practical guidance in statistical modeling. It emphasizes that, to improve the reliability of goodness of fit evaluations, both the characteristics of the distribution and the choice of estimation method must be considered carefully.